Author Topic: 每周一题: 不等式 (8/30/04 -- 9/5/04)  (Read 5968 times)

万精油

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每周一题: 不等式 (8/30/04 -- 9/5/04)
« on: 八月 30, 2004, 09:06:36 pm »
上周问题讨论:

上周的问题由IDOT9解出,后来因为论坛换服务器,丢了几个贴子,他的解就
是其中之一。我这里再重新解一下。

这个问题的关键是要画一条辅助线。初一看这题好像没有头绪,有了这条辅助线,
问题就简单多了。这辅助线就是在AB上找一点F,使得〈BCF=20°。有了
辅助线CF,一下就多出许多等腰三角形。



如上图:

EC=BC=FC 
--〉 FE=FC=FD 
--〉 〈FDE=70° 
--〉 〈CDE=30°

说起等腰三角形,有一个很有趣的悖论。



如上图:任意三角形ABC,角A的角平分线与BC的垂直平分线相交于O。从O
到AB引垂线OD与OE,因为O在角A的角平分线上,所以OD=OE,三角形
AOD与AOE全等,所以AD=AE。因为O在BC的垂直平分线上,所以OB
=OC。加上OD=OE,由勾股定理知道BD=CE,最后我们得出:AB=A
D+BD=AE+CE=AC,也就是说任意三角形都是等腰三角形。

这几何问题出起来就没完,本应该就此打住。但每次出几何题就会想到另一到题,
所以这周就把它出出来。解出来以后大家就会知道为什么会出它了。

本周问题:

已知:a+A=b+B=c+C=K
证明:aB+bC+cA〈=K∧2

方信

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每周一题: 不等式 (8/30/04 -- 9/5/04)
« Reply #1 on: 八月 30, 2004, 10:32:29 pm »
O is not inside of ABC

We have to assume
a,b,c, A,B,C >= 0

for the question, consider an equilateral triangle ABC, such that AB = BC = CA = K

consider D on AB, E on AC and F on BC
such that
AD = A and BD = a
AE = c and CE = C
BF = B and CF = b

We have

Area of ABC = ADE + BDF + EFC + DEF

i.e. Area of ABC >= BDF + EFC + ADE

i.e. K^2 >= aB + bC + cA

方信

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每周一题: 不等式 (8/30/04 -- 9/5/04)
« Reply #2 on: 八月 30, 2004, 11:13:50 pm »
Algebraic proof

Assume a,b,c, A,B,C >= 0 and <= K

Let A be maximum among a,b,c,A,B,C such that A>= a,b,c, B,C

So we have
(A-b)(A-c) + (KA - A^2) >= 0

And we also have

(A-b)(A-c) + (KA - A^2) = K^2 - (aB + bC + cA)