Author Topic: 几何与神  (Read 5076 times)

万精油

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几何与神
« on: 六月 15, 2007, 09:24:43 am »
这是九三年左右在ACT(ALT。CHINESE。TEXT)贴的,现在把它挖出来,还是把我的文章汇总的意思。

--万精油--

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几何与神

--万精油--


几何学是被古人看得很神圣的。据说在皮达哥拉斯学院的门框上有“不懂几何者不得入内”的
字样。因为一些几何定理的美妙与神奇,皮达哥拉斯本人坚信几何学是上帝的杰作。后来他
发现正方形的对角线长度竟然与原边长不共度(无理数),觉得简直不可思议。因为上帝是
不可能造出这种不合理的东西来的。几何与神的关系因此而打了点折扣。ACT上讨论有神
论,无神论。讨论的时候竟然涉及到几何学,几何与神的关系竟然在现代找到了新的支点。
有一个支持上帝存在的贴子写到(大意如此):

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      现存的三种几何:欧几里德几何,黎曼几何以及罗氏几何,对平
      面三角形内角和有很矛盾的结果。大于,小于或等于180度。
      造成三种几何体系之间的矛盾的关键仅在于一点上:怎样处理这
      条平行公理--(1)平行线唯一性或(2)无平行线或(3)
      多平行线。那让我们看看哪一种几何是附合我们生存的这个空间
      呢?或者对我们人类来说是真实的呢?很明显是从“平行线的唯
      一性”得出的欧几里德几何体系。

      当我们看看世人对神存在的态度时,会发现一个惊奇的巧合:我
      们也有三种体系:(1)独一神(2)无神(3)多神。人和人
      之间矛盾的产生全可以从我们对神的态度上找到源头。与上相仿
      ,我们同样可以问这样一个问题:哪一种体系对人类是真实的呢
      ?
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没想到有神无神竟然扯到几何。我对有神无神的讨论没有兴趣,因为我认为这种讨论永远不
会有结果。尽管如此,因为扯到几何学,我也就自然加入了讨论。

如果在几百年前说这三种几何之间有矛盾,或许还说得过去。但现代的几何学已经有了很大
的发展,如果还继续谈这种矛盾,就好象有点不对劲了。从现代微分几何的观点出发,对上
面引文提到的这几种几何是有统一认识的,并没有什么矛盾可言。

一切几何性质都由度量(metric)决定。有了度量就有了曲率,不同的曲率产生不同
的几何性能。

曲率为0时,比如平面,平行线公理成立,也就是说过一点能且只能引一条平行于另一条直
线的直线,三角形内角和等于180度。这种空间上的几何学就是人们所说的欧几里德几何
(也叫抛物几何)。

曲率为正常数时,比如球面,所有‘直线’(也就是测地线--两点间最短线)都相交,所以没
有‘平行线’。我们知道,从北极可引无数条‘直线’垂直于赤道。两条经线和赤道所组成的三角形
内角和也大于180度。在正曲率空间上的几何学就是所谓黎曼几何(也叫椭圆几何)。

曲率为负常数时,比如射引平面(这个例子有点专业化,但找不到更近的),过一点可引多条
‘平行’于另一条‘直线’的‘直线’。(测地)三角形内角和小于180度。在负曲率空间上的几何
学就是所谓罗巴切夫斯基几何(也叫双曲几何)。

上面的这些在不同曲率空间中关于三角形内角和的结论,只不过是一个叫做GAUSS-
BONNET定理的特例而已。清楚得很,没有什么矛盾可言。

这些不同曲率的空间并非只存在于数学家的大脑里,在物理空间中是有其模型的。比如我们生
活的空间,局部来说,欧氏空间就是它的一个很好的模型。但从整体来讲,现代物理认为引力
可以使空间‘弯曲’,也就是说在强引力场附近,最短线(比如光线的轨迹)不是直线。这一点已
被天体物理实验所证实,我们因此可以看见应该被太阳‘挡’住的星体。

讲这些东西的目的,并不是要讨论上帝是否存在。只是觉得用三种不同的几何之间的所谓‘矛盾’
来作例子不太合适,顺便给大家科普一下。其中有些说法或许不是很严格,但科普的东西,只
要本质上没有错就好了,细节问题就顾不了太多了。