Author Topic: 斐波纳妾和他的兔子们  (Read 6253 times)

万精油

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斐波纳妾和他的兔子们
« on: 六月 11, 2007, 11:28:03 am »
这是97年我为国风灵机一动专栏写的贴子。与别的文章不一样,这篇文章数学味道比较
重。好在其中还有一些故事,也算有一定的可读性,还是把它放在这里。

--万精油--

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斐 波 纳 妾 和 他 的 兔 子 们

从前有个叫斐波的人纳了很多妾,养了很多兔子...,哈哈哈,开玩笑,开玩笑。

据说【灵机一动】这个专栏在国风的各专栏中属于读者较少的几个专栏之一。这并不是很
奇怪。玩数字游戏,想逻辑问题都是很费脑筋的。大多数人到这里来只是为了轻松轻松,
费脑筋的事与他们的本意不合。如果我们的文章里有一些纳妾,养小老婆,风花雪月,谈
情说爱之类的东西,读者数量一定会增多。不过,如果真要这样做的话,我们这个专栏的
栏目就不应该叫【灵机一动】,而应该叫【花心一动】了。栏目我是不愿意改的,内容也
就只好跟题目走了。很多人不感兴趣也没有办法。用【灵机一动】这样的题目,虽然谈不
上交了华盖运,但在读者数量上翻身的可能性是不会太大的。好在我们还有一批坚定的读
者(这可以从我每期收到的读者来信估计出来),而且据说读者数量还在上升。上升就好,
只要导数为正就还有希望,哪天说不定就升上去了呢。:)

最近的几期题目(十一和十三期)的解都不约而同地用到FIBONACCI数。有读者
来信说:FIBONACCI数怎么如此奇妙,到处都能用到。可不可以讲一讲它的来龙
去脉。来龙到是可以讲一讲,去脉就说不清楚了。谁知它什么时候又会从别的什么地方钻
出来。

FIBONACCI这个题目让我想起图雅。当初图雅在网上搞[奥秘]工程,让我也写
一篇数学方面的东西。因为读者对象是中小学生,很难找到合适的题目。当时想,如果真
逼急了就写一篇关于FIBONACCI数的东西,因为这个题目不需要太高深的数学知
识。后来见没人再来催,我也乐得开溜。如今图雅从网上消失(他自己说是要去巴西),
[奥秘]工程也不知进展得怎么样了。我这篇关于FIBONACCI的东西终于还是没
能躲掉。所谓躲得过初一躲不过十五。欠人的账迟早是要还的。好在我们的读者不是中小
学生,不用写得太详细。这相当于货币贬值时还债,说起来我还是赚的。

LEONARD  FIBONACCI是意大利数学家。在国内通常译为斐波拿契。这里
的一些网友开玩笑把他译成斐波纳妾,比较有浪漫色彩,我也就跟着用了。所谓斐波拿契
数列就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34...,后面的数是前面两个数
之和,以此类推。这个数列是怎么来的,为什么会有那么多应用呢?

斐波拿契数列最开始出现在斐波拿契的一篇数学文章里。他在文章里提出了一个兔子个数
的问题。问题是这样的:一对兔子每月生一对小兔。新生的小兔两个月以后也开始每月生
一对小兔。问:从一对小兔开始,一年以后会有多少对兔子。因为都是些简单数字,我们
不妨跟踪几个月。第一个月是一对小兔。第二个月小兔还没长大,不能生小兔,所以还是
只有一对小兔。第三个月小兔长大了,生下一对小兔。总共有两对兔子。第四个月再生下
一对小兔,总共有三对兔子。第五个月老兔再生一对小兔,这时第三个月时生的小兔已经
长大并也生了一对小兔,所以总共五对兔子。如此推下去,第六个月会有八对兔子,第七
个月会有十三对,然后是21,34,55...,推多了以后我们很容易发现,下个月
的兔子总对数等于这个月的兔子对数加上下个月的成年兔子的对数。而下个月成年兔子的
对数实际上就是上个月的兔子对数。简单说起来:下个月的兔子数等于这个月的兔子数加
上个月的兔子数。用公式来写就是:

        F(N+1)  =  F(N)  +  F(N-1)

这个公式给出了一般的递推关系,明年,甚至后年的兔子数都很容易得出来。

我们平常在做数学游戏或讨论一些数的性质的时候,常常发现一个数的性质依赖于前面的
一个更小的数,如果前面更小的数能满足某种要求,后面这个数也能满足某种要求(比如
我们上期的题目)。斐波拿契数列后面的项可以用前面的项来表达,这具有一定的通性,
对很广范的一类问题都实用。要对一个大数解决问题,只需通过一定的步骤把它化简到前
面解决过的小一点的数就行了。很自然地,许多完全不同的数字问题最后都跑到斐波拿契
数上来了。斐波拿契也因此而名留史册。

把一个问题简化成另一个已经解决的问题是数学家的惯用技俩。数学归纳法用的就是这个
道理。有一个笑话说有一个心理学家想观测一下各种不同的人解决问题的能力。他找了三
个人,一个是物理学家,一个是工程师,一个是数学家。在一个大礼堂的舞台上有一个大
水缸,里面有水,旁边是一个盆子。心理学家在礼堂远处的地方点了一团火,让这三个人
用最经济的办法把火灭掉。数学家没有什么经济头脑,不管什么方法,只要能解决问题就
行。他把大水缸抬到火旁把水倒在火上把火扑灭。工程师觉得数学家的办法不够经济。抬
一缸水去灭火太累而且没有必要。一盆水就够了。于是他把水装到盆子里再端到火旁用水
把火扑灭了。物理学家更厉害,连水都不用,直接把盆子扣在火上,由于没了氧气,火自
动熄灭。心理学家很满意。第二天又做了同样的实验。只不过这次水是在盆里,而不是在
缸里。这次要求大家用最快的办法把火扑灭。物理学家和工程师都认为直接的办法最快,
两人都是直接把盆里的水端到火旁将火扑灭。而数学家却把水就近倒进旁边的水缸里,然
后扬长而去。说是已经把问题‘简化’成昨天已经解决过的情况。

我们再接着讲斐波拿契数。引出斐波拿契数的另外一个有趣例子是蜜蜂的祖辈数。据说公
蜂是从没有受过精的卵孵化出来的。所以,公蜂没有父亲,只有母亲。如果从一只公蜂开
始,一代一代往上推。看它每一代有多少个祖辈。上面第一代显然只有一个,就是它的母
亲。每二代有两个,就是它的母亲的父母。第三代有三个,爷爷的母亲,和奶奶的父母。
依此类推,我们再一次得到斐波拿契数列1,1,2,3,5,8,,,。不过,这个祖
辈问题不象兔子的数量那么严格,因为祖辈是可以重复的。往上代推出的一些祖辈可能是
同一个人。据说魏亚桂在ACT讲往上推五百年(或一千年),大家都是一家人。他用的
就是这种往上推祖辈的方法。我想,这祖辈重合的问题他一定也知道。不过,虽然祖辈重
合后数字没那么严格,但大家是亲戚的结论并不受影响。重合岂不是亲上加亲。:)往上
推一千年,很难有人能跑得掉,只有完全封闭的群体才不会被数进来,如果现代社会还有
这种完全封闭的群体,他也不会读到魏亚桂的贴子了。


斐波拿契数的起始两个数是1,1。如果不是1,1而是另外两个数A,B,这样产生的
数列会是什么样。换句话说,如果有一个数列L,满足L(1)=A,L(2)=B,
L(N+1)=L(N)+L(N-1),那么这个数列的一般项会是什么样呢?稍微推
算一下就可以发现  L(N+1)=A★F(N-1)+B★F(N),这里F(N)为
斐波拿契数的相应项。当A=1,B=1时,我们就回到斐波拿契数。当A=1,B=3
时,我们得到另一个很重要的数列,LUCAS数列。LUCAS数列在数论界还很受人
注意,前不久还看见有人写文章讨论它的性质。

斐波拿契数列有一些简单但很有趣的性质:比如每过三项的数都是双数,每过四项的数都
可以被三整除。每过五项的数都可以被五整除等等。还有,前面N项的平方和等于
F(N)★F(N+1)等等。以上这些性质都是很简单的性质。斐波拿契数的一个不太
简单而且很重要的性质是F(N)/F(N+1)的极限。也就是说前一项与后一项的比
例的极限。很容易证明这个极限存在,而且这极限等于著名的黄金分割数。文化大革命的
时候讲究一切都要与实践相结合,数学也不例外。于是华罗庚带了一个小分队,到处推广
优选法,也叫零点六一八法。这零点六一八也就是黄金分割数的前三项。关于黄金分割数
的故事很多,需要很多篇幅,我们以后有机会再谈。