Author Topic: 每周一题: 桌面上的表 (11/29/04 -- 12/05/04)  (Read 8275 times)

万精油

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每周一题: 桌面上的表 (11/29/04 -- 12/05/04)
« on: 十一月 29, 2004, 09:58:05 am »
开放上贴条件果然吸引了不少新贴。看来真有许多人愿意匿名上贴。虽然我不能理解,但仍然表示欢迎。这些新贴给论坛添加了不少活力。

上周问题讨论:

上周的问题许多人都像我一样,上来就是常微分方程。因为这是很自然的思路。但一道趣味题如果要用到高中以上的数学,趣味兴就要打折扣了。幸好后来又发现了初等解法,没有让这道题失去它的趣味性。

如果车的行驶速度小于蚂蚁的爬行速度,则不管橡皮筋的初始长度是多少,蚂蚁总能追上车子。现在车的行驶速度是蚂蚁的一百倍,我们就不是那么肯定了。其实,我们知道橡皮筋的拉长是均匀的。虽然总长度的增长速度是蚂蚁速度的一百倍。但如果我们把它分成101分,则每一分的增长速度就比蚂蚁的速度小了(如果车速是蚂蚁速度的N倍,则可以把橡皮筋分成N+1分)。于是蚂蚁可以一节一节地赶。虽然每赶一节,下一节的初始长度就要长许多,但时间不是我们要考虑的问题。所以总可以一节一节地赶上。仔细想一想,你会发现,只有当蚂蚁爬到最后一节时,它才是真正开始在赶上车子。在最后一节以前,它都是离车子越来越远。

这周的问题不是太难,是那种典型的灵机一动问题。如果想对了思路,则问题很简单,但如果想不对,就显得很难。这道题的解题思路很有用,经常可以在别的题里见到。

本周问题:

桌面上随意地平放着100个正常运行的表。试证明必然有一个时候,所有表的分针顶端到桌面中心的距离的和大于所有表的中心到桌面中心的距离的和。
« Last Edit: 十月 08, 2009, 09:38:03 pm by 万精油 »

idiot95

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每周一题: 桌面上的表 (11/29/04 -- 12/05/04)
« Reply #1 on: 十一月 29, 2004, 10:35:08 am »
For each watch, (a circle O), denote the center of the table as C, at any time t, the end of the minute hand is T1, consider T2 which is the position of this hand at time t+30s. T2 will be the other end of the diameter passing OT1. Apparently (hehe..) CT1+CT2 > CO*2. (draw a symmetric image of CT1T2 w.r.t. O)

Then you add all of these kind of things up (as the watches are all good, so t+30s would be the same for all of them, i.e. they reach their T2 at the same time). The sum of the T1 group + the sum of T2 > 2*the sum of TO group. Then at least one of them is greater than TO group.

万精油

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每周一题: 桌面上的表 (11/29/04 -- 12/05/04)
« Reply #2 on: 四月 08, 2005, 09:06:36 am »
I just digged one of my old articles up, it is related to clocks. I thought people who's interested in this forum will also be interested in reading such articles. Here it is

http://www.zhipingyou.com/qqsh/index.php?topic=303

My other writings (old and new) will appear gradually in the mother forum of the above link, which is the following

http://www.zhipingyou.com/qqsh/index.php?board=7
« Last Edit: 三月 31, 2011, 01:44:12 pm by 万精油 »