Author Topic: 灵机一动十月(2014)-- 猜拳洗碗  (Read 1904 times)

万精油

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灵机一动十月(2014)-- 猜拳洗碗
« on: 十月 01, 2014, 11:01:28 pm »
这是在微博上看来的。原题有误,但题目本身比较有趣,改一下贴到这里

灵机一动十月(2014)-- 猜拳洗碗

一对情侣玩猜拳,输的人洗碗。男胜率0.6,女胜率0.4,但女生有改变规则的权利。
如果女生第一局胜则猜拳结束,否则改为三局两胜制继续,如果继续输则采取五局
三胜,七局四胜,依次类推。以十分钟为限。如此规则,女生胜率为多少?


注1: 每手5秒钟,十分钟120手,平均男生已经胜出24手,女生追上的可能性可以
忽略,所以,十分钟可视为无穷长时间。

注2:这道题如果想对了方法,应该比较简单,本来不够每月一题的水平。但是,一
方面因为比较实际(可以加分),另一方面,由这个问题引来的另一个衍生问题也很
有趣,等我贴解答的时候会说明。

注3:显然,这道题应该求出一般解。即男生胜率为p>1/2时女生的胜率。

注4:解出答案后会发现女生的胜率增加很大,可见有些时候技术好不如规则好。

« Last Edit: 十月 02, 2014, 08:32:43 am by 万精油 »

warren

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Re: 灵机一动十月(2014)-- 猜拳洗碗
« Reply #1 on: 十二月 12, 2014, 07:24:49 am »
这题贴出两个多月了还没人解答,积极性不高啊.

在有限局内停止,能给出公式,但是好象不容易化简. 考虑无限局的情况. 设每局男生胜的概率为p,女生胜的概率为q.  胜一局得1分,负一局得-1分.  p_n 表示(一开始)男生有n分时最终胜的概率. 易知{p_n}是单调上升数列,而且 lim p_n =1.  由全概公式,有

p_n = p*p_(n+1) + q*p_(n-1),   n=0,1,2,.... (p_(-1)=0)

也就是

 p*[p_(n+1) -  p_n] =   q*[p_n - p_(n-1)].

n 由从0到无穷求和有

p*[1-p_0]=q,

因此  所求概率为

p_0 = 1 - q/p