Author Topic: 灵机一动九月 -- 2014:等比分割  (Read 2236 times)

万精油

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灵机一动九月 -- 2014:等比分割
« on: 八月 29, 2014, 10:58:42 pm »
昨天有人给我寄来这道题。睡觉前想了一下,d=1/3的特殊情况在脑袋里可以想清楚
(里面的小三角形面积是大三角形的1/7)。但对于任意d,式子太复杂,脑袋转不过
来了。只好起床拿纸笔推导。很高兴的是,复杂的式子可以简化得很漂亮。于是决定
把它放到灵机一动来。

灵机一动九月: 等比分割

如图:F,D,E 为AB,BC,CA 各边三等分处(距A,B,C 1/3边长)。连接AD,
BE,CF,三条线交于a, b, c。证明三角形 abc 的面积是三角形 ABC 的面积的 1/7。

更一般的情况。假设不是1/3,而是0到1/2之间的某个分数d (d = 1/3就是前面的
特例)。问三角形 abc 的面积与三角形 ABC 的面积是什么关系。


注1:给我这道题的人说他用解析几何来解这道题。也就是说要建立一个坐标系,设一些
变量来解。我的办法不用坐标,纯平面几何方法。

注2:我怀疑这道题与射影几何有关。我的射影几何知识已经全忘掉了,如果有人能
用射影几何的某个定理来证,也算帮我复习一下。


« Last Edit: 八月 29, 2014, 11:00:20 pm by 万精油 »

warren

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Re: 灵机一动九月 -- 2014:等比分割
« Reply #1 on: 八月 30, 2014, 08:11:55 am »
好题! 下面介绍我的方法,直接考虑一般情况.

记 r=(1-d)/d. 在A,B,C点分别放质量 r^2, r, 1. 则A,B,C三点的重心在 a 点. 因此 Aa:aD=(1+r)/r^2,
Aa:AD=(1+r)/(1+r+r^2). 所以 S_{AFa}=(1+r)/(1+r+r^2) S_{AFD}=(1+r)/(1+r+r^2) d S_{ABD}=
(1+r)/(1+r+r^2) d^2  S_{ABC}.  同理, S_{BDb}=S_{CEc}=(1+r)/(1+r+r^2) d^2  S_{ABC}.
所以,  S_{abc}=S_{ABC}-S_{ABD}-S_{BCE}-S_{CAF}+S_{AFa} + S_{BDb} + S_{CEc}
= [1 - 3d + 3(1+r)/(1+r+r^2) d^2] S_{ABC} = [1-3d+3d^3/(1-d+d^2)] S_{ABC}.

当d=1/3时,  S_{abc}=(1/7) S_{ABC}.

万教授用的什么方法?





万精油

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Re: 灵机一动九月 -- 2014:等比分割
« Reply #2 on: 八月 30, 2014, 09:29:33 pm »
你这个物理方法不错。我的方法是纯几何方法,但需要画一条辅助线。等我画好图上传上来再来说明。

顺便提一句,最后的式子可以化简成:(1-2d)^2/(1-d+d^2).

可以验证 d = 1/3 时 S(abc) = (1/9)/(7/9) = 1/7
d = 1/2 时 S(abc) = 0 (因为三条线交于一点)。

万精油

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Re: 灵机一动九月 -- 2014:等比分割
« Reply #3 on: 八月 31, 2014, 12:24:22 pm »
找到一个不用辅助线的方法:

设 S(ABC) = 1,  x = S(AFa); y = S(BDa)

我们有  d = S(ABD) = S(ABa) + S(BDa) = x/d + y
以及 1-d = S(BFC) = S(BFa) + S(BCa) = x*(1-d)/d + y/d

解方程组得:

x = d^3/(1-d+d^2) and y = d*(1-2d+d^2)/(1-d+d^2)

可得四边形 S(FBDa) = S(BFa) + S(BDa) = x*(1-d)/d + y = d(1-d)/(1-d+d^2)

ABC 由三个这样的四边形加中间的小三角形组成,所以

S(abc) = S(ABC) - 3*S(FBDa) = 1 - 3d(1-d)/(1-d+d^2) = (1-2d)^2/(1-d+d^2).

QED