Author Topic: 灵机一动七月 2014 -- 数三角形  (Read 2708 times)

万精油

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灵机一动七月 2014 -- 数三角形
« on: 七月 23, 2014, 02:25:30 pm »
这道题是在微博里看见的,原题不难,可以说很简单。但是很多人做错,因为他们没有学会系统地去数。有趣的是,我把它推广以后,题目反倒变得简单了,而且答案出乎意料的简洁,所以我把它作为灵机一动的题目。

灵机一动七月 2014 -- 数三角形

1. 下图中有多少个三角形



2. 上图左右下角都有三条线引向对边,如果左右下角都有n条线引向对边,总共有多少三角形




3. 如果左右下角分别有m,n条线引向对边,总共有多少三角形?


注1:上面的2就是我说的推广的情况。如果会证2,那么3也基本类似。
注2:至少可以有三种不同的方法证明这个结果。



warren

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Re: 灵机一动七月 2014 -- 数三角形
« Reply #1 on: 七月 25, 2014, 01:50:13 pm »
只想到一种方法,三题难度都一样.

三角形分为两类,一类包括底边,一类不包括底边.  包括底边的三角形一条边来自左边 m+1 条线,一条边来自右边 n+1 条线,这样的有三角形(m+1)(n+1)个;  不包括底边的三角形两条边来自左边 m+1 条线,一条边来自右边 n+1 条线,或一条边来自左边 m+1 条线,两条边来自右边 n+1 条线, 这样的有三角形 m(m+1)(n+1)/2 +  n(m+1)(n+1)/2  个.
共有(m+1)(n+1)(m+n+2)/2 个三角形.

万精油

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Re: 灵机一动七月 2014 -- 数三角形
« Reply #2 on: 七月 28, 2014, 04:40:49 pm »
结论正确,这也是我用的方法。

最有趣的是,当m = n 时,结果是 (n+1)^3, 非常优美。

第一种方法是用数学归纳法。

第三种方法是数边。总共m+n+3条边,任取三条不共点的边就是一个三角形。所以总数是任取三边的组合数减去共点三边组合数C(m+n+3,3)-C(m+2,3) + C(n+2,3). 化简后就得(m+1)(n+1)(m+n+2)/2