Author Topic: 灵机一动七月 2013 -- 九点正方形  (Read 3983 times)

万精油

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灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
« on: 七月 12, 2013, 09:24:20 am »
好久没有出题了。刚才看到这道题,虽然简单(远低于灵机一动的平均水平),但比较有趣。考虑到很久没有出题了,还是把它放到灵机一动里

灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
一张边长 3 厘米的正方形纸片被墨水弄脏了。已知墨迹总面积小于 1 平方厘米,问能否在纸片上
画出一个边长 2 厘米的正方形,令其顶点、四边中点以及中心一共九个点,都不处于墨迹上?



润润

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Re: 灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
« Reply #1 on: 八月 27, 2013, 04:15:47 pm »
我想答案应该是:能。


用反证法: 假如不能。
只需考虑小正方形的左上角点,显然它永远只能在大正方形的左上角的一个1cm X 1cm的
正方形内移动。从这出发就会有矛盾。

万精油

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Re: 灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
« Reply #2 on: 八月 30, 2013, 09:26:58 am »
Quote
只需考虑小正方形的左上角点,显然它永远只能在大正方形的左上角的一个1cm X 1cm的

如果稍微旋转一下,就可以跑出左上小方块。

润润

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Re: 灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
« Reply #3 on: 八月 31, 2013, 12:26:39 pm »
谢谢万教授指出我的错误。我没有仔细看题而凭直觉给图误导了。

幸好我的证明并不基于“它永远只能在。。。”上。
其实“只需考虑小正方形的左上角点,显然它永远只能在大正方形的左上角的一个
1cm X 1cm的正方形内移动。”应改为
“只需考虑小正方形的左上角点只在大正方形的左上角的一个1cm X 1cm的正方形内移动
的情况。”

我的证明大致如下:
以下只考虑小正方形和大正方形的边平行的情况。
首先把大正方形均分为九个1x1小正方形,那麽2x2的小正方形中的九个点就只能分别在这九个
1x1小正方形内。再把所有墨迹分割为小块使得每块都只落在这九个1x1小正方形的一块内。

假如答案是不能的话,每个2x2的小正方形中的九个点中至小有一个点处于墨迹上,
若果这点是A(即2x2小正方形的左上角点),墨迹不动,否则我们就把这块墨迹平移到大正方
形的左上角的一个1cm X 1cm的正方形内,使得那个处于墨迹上的点与A重合。
可以证明:
存在一组互不相同的墨迹块复盖了大正方形左上角1cm X 1cm的正方形。
也是说墨迹的总面积不少于1平方厘米。这就矛盾了。

万精油

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Re: 灵机一动七月 2013 -- 九点正方形
« Reply #4 on: 九月 03, 2013, 12:44:38 pm »
你的方法与我想的一样。也是把大方块分成九块。不过,我用了另一个解释途径。想象这九点有传染能力。一个点碰到墨迹,九个点都碰到。那么,找不到九点错开墨迹的2X2正方形等价于整个大方块都是墨迹(通过传染)。9/9 = 1, 矛盾。这个解释不见得比你的更清楚,只不过我觉得避开了把墨迹搬来搬去。