Author Topic: ZT: 我研究数学的经验 --丘成桐  (Read 3802 times)

万精油

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ZT: 我研究数学的经验 --丘成桐
« on: 一月 29, 2013, 10:32:21 am »
"昨夜西风 凋碧树,独上西楼,望尽天涯路。" 这是王国维讲做大学问的第一个阶段,
被丘成桐大师转用在数学研究上。丘成桐的这篇文章我很早以前就读过,今天看见有
人贴在善科网,特别推荐。搞数学的都应该读一读。他提倡要兼学别的科目,比如物
理。大题目,小题目都要肯花心思做。

--万精油--

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我研究数学的经验

丘成桐 院士

(1997年6月9日于新竹交通大学应用数学系)

今天林松山叫我讲关于应用数学的问题,我想一想,讲做学问的经验也好。因为我 来台湾也差不多五年了,我想很多研究人员做研究的方法并不见得是最好,尤其是 我觉得很多年轻人员为什么在国外能够念的好?这是很值得思考的。 所以,我想 讲讲我自己的经验,或是我对数学的看法,让大家参考一下。

我想第一讲是最重要的当然是要有热忱,最主要的就是求真的精神,是始终要培养 的。我们做学问是为了求真,无论是对自然界的了解或是从数学方面来讲,我们有 不同的观念,可是真跟美就数学来讲是最重要的。追求真跟美的热忱很重要,因为 我们整个做学问的路上要碰到很多不同的困难,假如我们没有热忱的话,就没有办 法继续下去。所以追求学问的最崇高目标,无过于真跟美,追求的目标无误,热情 才不会熄减。我们非想办法培养自己对追求学问的热忱不可。几天我在去看我父亲 的遗作,其中有屈原:

路漫漫其修远兮,余将上下而求索。

做学问的路很长很远,我们一定要看得很远,因此我们要上下去求索,要想尽办法 去求真。怎么去找真跟美,能够始终不断的坚持下去,这是成功的一个很重要因 素,如果没有热忱的话,就永远达不到做大学问的地步。我们再举一个国外的例 子,在一个有组织的系统里,我们的竞争很厉害,尤其在物理方面或其它实验科学 方面的研究,真是分秒必争;有一个题目刚好出来的时候,大家晓得其他人也会做 这个问题,很多post doctor 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜,甚至整个 晚上不睡觉。这上面当然有一个竞争性在里面,就是希望达到一个目标,比人家快 了一点;可是另一方面也是因为求真的热忱很大,刺激着我们使我们不肯放松。否 则的话,很多有tenure 的faculty,没有必要这样拼命,可是很多faculty 还是 愿意这样子作,我想热忱很重要。我们要晓得,作研究的路是很远的,我们要在中 间低潮的时候还能够坚持做下去。很多作研究的人,他往往觉得若不在中心的地方, 他不敢去做。有些人去到过最好的地方,他也不敢去碰难的题目。这有很多不同的 原因,等一下我们再慢慢谈,可是一个最要紧的我想是基本的功夫要做好。基本功 夫没做好往往会出现上述问题。中学的时候,大学的时候或者在研究院作研究生的 时候,很多基本功夫都要培养,很多学生在年轻的时候不将基本功夫做好,以后做 研究就很吃力。

交通大学着重应用数学,可是我们晓得应用数学主要的工具是从纯数学来的;很多 的学生人认为既然是应用数学就不用学纯数学或者是应用物理就不必学基本的物 理,这是很大的错误。很多基本的功夫非在作学生的时候学不可,为什么呢?我们 要做习题,并且要大量的去做,这是学习基本功夫的必要过程。我想很多现在毕了 业拿了博士学位的人看一本书的时候不再去做习题。遇到一些比较复杂计算的时候 往往不愿意去算,可是很多基本的想法就是要从计算里面领会得来的。我们所做的 命题,最后的时候可能留下很简单很漂亮的结果,可是中间往往要花大量的计算我 们才晓得这结果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得来的,往往做了一百 次,九十九次是错的,最后一次是成功的。但成功的时候,我只跟你讲成功的结 果,不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的,因为经常犯很 明显的错误,要在做完的时候才知道。可是当讲给人家听的时候很少会跟人家讲错 误的那部分,其实做错误的结果让你眼睛明亮,它帮你忙,让你向前走。其实你能 做错的结果,已经是很不错的了,因为很多初学的人连怎么进去做这个题目都不能 够做到。譬如来讲,你给我一个化学上的问题,我从什么地方开始做我都不晓得, 因为我没有这基本的功夫,我根本不晓得要从什么地方开始。

一个好的数学家至少要能够掌握两门以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕学 来的。譬如讲,有代数的方法、有分析的方法、有几何的方法等种种不同的方法, 我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几何,觉得代数没有什么意思不想学,或 者是学代数的人不想学几何,各种想法都有,可是最后我们发现真的做研究的时候 全部都要用到。有人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的题目,结果连 这方面的问题也不见得做得好。因为数学的发展是不停地在改变,不断地在改变。 自然界能够提供给我们的问题,不会因为你是几何学家就继续不断的提供几何方面 的问题,而往往是与几何结合在一起的问题。到了题目来的时候,要用到其它工 具,我没办法去了解,我就比其他人吃亏了。例如,很重要的一门"群表示理论", 一般来讲很多地方不教这门课,可是在应用科学或者理论科学要用到,"群表示理论 "在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧地运用"群表示理论"分析很多问题。 我们可能没有这些办法,这就是因为我们基本功夫没有做好的缘故。我想"群表示理 论"大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中国数学家在这方面的训练不 够,因此不如国外学者,可见有些基本学科一定要学好,同时要很早就学。

我们学数学的不单是要学数学上的基本功夫,在物理上的基本功夫也要学,这是在 大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解,因为物理跟数学这几十年 来的发展越来越接近,很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念完 全不认得的话,我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家,能够很快的融会 贯通。到了这个年代,很多的数学的问题往往是从其他的学问如理论物理、应用数 学或其它的科学里来的,他们甚至提供intuition和方法。我们想了很久的一些问 题,往往因此得到了解决,假使我们从来都不接触其他科学的话,就完全落伍了。

举个例子来讲,代数几何学家这二十年来已有长远的发展。可是到了这几年来用古 典的方法或者纤维丛的方法,都没有办法解决的问题,结果从理论物理帮助我们看 到以前看不到的可能。由于本身知识的局限,很多代数几何学家遇到这个困难的时 候没有办法接受这些专家的看法,遇到理论物理就不敢去碰它。可是物理提供了, 解决了我们基本问题的方向,代数几何学又觉得很难为情, 因为他们没有办法去了 解,所以这是一个很困扰的问题. 假使你不肯学物理学上的基本功夫,你就很难接 受这个新的挑战。

记得我看过一本书, 序言里讲作者很感谢代数学家Albert,他为什么感激他呢?他 说Albert教我代数,使得我坐下来的时候,看代数问题不会恐慌,使我能够坐下来 好好地对待代数上的问题。就是讲我们基本功夫能不能做到如此,我坐下来,看到 几何问题或应用数学的问题,可不可以坐下来就想个办法来对付他,我想这是很重 要的。我们往往看到问题,坐下来的时候,恐慌的不晓得怎么办,因此就算了,我 想大家都有这个经验。你做基本功夫一定要做到你看一个题目,明明是unknown、 unsolved的问题,你还是可以坐下来,然后花工夫去解决它。即使你不能够解决它, 可是你至少晓得怎样去想办法,同时不会恐慌、放弃,我想这是最重要的。往往我 们因为基本功夫没做好,当一个深的题目或看法出现的时候,我们就拒绝去接受, 认为这些题目不重要,这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题的时候最自然 的方法。

训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时候。基本功夫怎样学好呢?有时看 一本书完了就放在一边,看了两、三本书后就以为懂了,其实单看书是不够的,最 重要的是做习题,因为只有在做习题的工夫里面你才能晓得什么命题你不懂,也理 解到古人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找,在上课和听seminar时也可以 找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记,不作笔记的话根本不可能去念任何 学科。尤其是有时候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的,或者是还没有发表的。 我常觉得很奇怪,为什么学生不去作笔记,他认为他懂了,其实明明不懂。因为可 能连讲课的人自己都还没搞懂,可是听讲的人不愿意去作笔记,也不会去跟演讲的 人谈,也不会去跟其他老师讨论。往往你花了一个钟头在那边听,听完了以后就全 部忘掉了。因为你没有一个写下的笔记可以温习,怎么可能不忘掉呢?

另一个训练基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们来看"群表示理论" 的时候,我们有一大套理论。单看理论是不够的,在应用时往往要知道群表示怎么 分解的,你不能够将它写下来则理论对你一点好处都没有。又例如一个方程式的估 计问题,你有没有办法瞭解其中的方法,就全靠你实际计算经验,不光念一两本书 就足够的。举例来说,我的儿子最近刚学因式分解这个问题,老师教他一大堆怎么 分解整数方程的问题。他学了。也学得很好,也学了怎么找根的方法。可是有一次 考试是他不知道怎么因式分解?我跟他说,你明明晓得怎么找根,为什么不能够因 式分解?主要是他学的时候没想到找根跟因式分解是同一件事情。问题就在于训练 基本功夫的时候,要去想清楚数学命题间的关系,了解清楚为什么要解这些命题。

我们去看很多人写以前人的事,写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经 历过这一条路的话,你事实上很难了解困难在什么地方,为什么人家会这样子想。 要得到这个经验,不单要做习题,还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好 处呢?困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候,常常会 一本书一下子就看完了,觉得很高兴,因为看完了;可是重新再看,反而什么都不 懂。我想大家都有这个经验,主要的原因是什么呢?我们没有学好这学科,做比较 困难的题目的时候,你就会发觉会遇到困难。尤其是我们做一些题目的时候,往往 就觉得似是而非,在脑子里面想,以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿的很快 的解决它,很快的看完那一本书,事实上这是欺骗自己,也不是训练基本功夫的方 法。一个好的题目,你应当坐下来用笔写下来一步一步地想,结果你会发现很多基 本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候,你去看你以前需要的定理在那里、 怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问的精义在哪里。

所以说,动笔去做题目是很重要的,我们做大学生的时候还愿意做这个事,往往做 研究生的时候,就以为了不起,毕业以后更不用讲,不会动手去写。一个题目在那 里,我们很了不起地以为自己懂了,有些是很明显,但有些是似是而非,好像差不 多了,事实上不是,里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做,当你在一门课 里面,基本功夫搞得很清楚以后,你就发现书里面很多是错的。 在发现书本里的 错误时,你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书,连本身的教科 书也不看,很使人失望。做研究大家晓得,自己要去找自己的思路。单单上课听听, 听完以后不看书,做几个习题就算了,怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路 要怎样子走。

我做大学生刚开始第一年半的时候,因为刚开始将数学严格化,我觉得很高兴。因 为从整个logic看去,可以一点一点地推导,从前有些几何或分析上的问题,我觉 得可以慢慢将它连起来,我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢?我觉得现在 很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来,能够 做完它,你就觉得很高兴。你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个 代数,我们须要研究的是什么事情?我们须要追求的是什么对象?我想去考虑这些 事情其实并不会花你太多时间,可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非 要有基本功夫不可,就算很琐碎的事情你都要晓得以后,才能对整个科学有一个基 本的看法、一个大范围的看法。

现在谈谈我个人的经验,我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面 几何很漂亮,我觉得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可 是我觉得还是不太够,所以我将很多基本的问题连在一起,之后开始慢慢想。去发 现一些书本没有的问题,去想书本的方法能够有什么用处,是不是大部分平面几何 上的问题都可以解决?我想找一些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中 的时候想过一个问题,我发觉没有办法去解决它。花了很多工夫去想,看了很多课 外的书来帮忙,最后很高兴地找到一个本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决, 可以用代数的方法来证明。因为经过很多不同的想法,有半年的工夫,完全不晓得 圆规和直尺解决不了这个问题,因此看到人家将这个问题解释清楚,就觉得很高兴; 那时候是中学生,没有了解Galois理论,所以还是不太搞清楚是怎么证明的。可是 我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为经过很长的思考,所以我开 始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题 或研究,我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉,也多看一些参考书,这 对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的问题。这是一 个工具,我们了解一下这整个方法的局限,对基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是 一个工具,不是一个终点,是一个起步。基本功夫没搞清楚的话,没有办法去讲某 个学问好,某个学问不好。

记得从前在香港念大学的时候,当时的环境比现在差得很多,图书馆根本没有什么 书,也没有什么很好的导师,但是还是看了很多课外书,也看了很多文章。但现在 看来浪费了很多精力,这是眼界太浅,坐井观天,不知数学的发展与方向的缘故。 以后我到berkeley,也看了很多文章,得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富,一 方面良师益友的交往,心中开始建立对数学的看法。我中学的时候,老师跟我们讲: 好的书要看,不好的书也要看。数学里面不好的书我也看,你可能奇怪为什么不好 的书我也看;我是觉得这样子,你一定要晓得什么是好的书,什么是不好的书,所 以你看文章的时候,一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起的。有些作者, 你晓得他的著作是了不起的可以多看,可是从不好的文章里面,你也可以看到许多 现代的发展。因为有时候,从简单的写法里面,你反而看得比较容易一点,可是你 一定要晓得他里面所讲的命题并不见得是有意思的,你一定要经过你自己大脑去搞 清楚。可是他里面的组织往往是有的,普通水平的文章里面往往会引出有名的文章, 也会介绍出有名的文章里面讲些什么事情,同时往往会写的比较容易看一点。因为 它的水平比较低,它可以学一些大数学家的文章,你看了以后,很快就晓得怎么进 出不同的地方,可以和好的文章比较。这是我自己的经验,你不一定要这样子做。 我的建议是大部份的时间看大数学家的作品,小部份时间浏览一般作品,并做比 较。

我当研究生的时候,有时候从早到晚都在图书馆里面看期刊、看书。当时因为在 Berkeley没有研究室,研究生没有研究室很好,整天在图书馆里面坐。几乎主要 期刊的文章我都看过,看过并不表示仔细的看,但至少有些主要的定理都看过。当 时大部分都看不懂。看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部 份搞清楚一篇好的文章。因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定 不好,简单的文章有时也有创见,多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问 题有兴趣,对你有很大的帮助。有很多学生跑来问我问题,我跟他讲某某年有谁做 过、做到什么阶段,他们听了很惊讶,为什么我晓得?没有谁讲给我听,是我自己 在文章上看到。这很重要,因为你做研究的时候,你要晓得什么人做过、解过哪些 问题,对你的帮助很大。因为往往做研究的时候,你须要晓得得只是谁做过、在什 么地方可以找到这个方面的文献,你以为有了这个帮助以后,你可以跑回去找这个 文件。甚至你只要晓得那一年代谁碰过这个问题,对你也有很大的好处。有很多名 家的文章往往比人家做快一步,就是因为他晓得谁做过这件事情,他可以去找这方 面的文章,或者去找某个数学家帮忙,否则的话,做数学的有十几万人,你根本不 晓得谁做过这个方面的问题,谁没有做过。所以在这方面多学一些人家做过的问 题,无论出名的文章也好,差的文章也好,都看一看。我当然是建议你多看一些出 名的文章,因为差的文章等于是消遣性,看武侠小说一样,看完就放在一边。你有 追求的热情以后,慢慢地在将不同的看法放在一起。

到了这个第一步以后,我觉得你可以开始找自己的题目。因为你开始晓得整个数学 界主要在看什么问题。一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的。当然有不同 的找法,有些人要发展一套理论,有些人要解决难题,理论的目标最后还是要解决 问题的,所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。举例来说,像 Poincare Conjecture,它是三维拓扑中最主要的猜想,我们晓得前人花了很多心血 去解决它,到了现在有很多不同的尝试方法,各自成一个气候。这个命题已经变成 一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题,需要彻底解决此猜 想才算圆满。另一方面有些人为什么对Poincare Conjecture 有兴趣,对其他问题 兴趣不大,那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很 多朋友是很出名的数学家,他们只想解决出名的问题,我认为这是错误的选题方法。 在数学上,我们应该有整个的有系统的想法,想整个数学目的在那里,应当解决什 么样的问题。

你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段,第一阶段是晏殊说的 "昨夜西风 凋碧树,独上西楼,望尽天涯路。" 这是王国维讲做大学问的第一个阶段,要解释 这一段话,我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好,你根本望不 远。你叫中学生去望尽天涯路,根本是不可能的事,最后讲一些空谈的话。对数学 或者科学上的历史不了解的话,你根本没有资格去谈以后的事。不是叫你去全部了 解,至少有一定的了解。现在很多学生,尤其是研究生,我觉得比较头痛,教他做 一个小题目, 做了以后,一辈子不愿意放。不停的写小文章,写了文章当然可以发 表,对某些年轻人来说讲,他认为这样子很好,不想重要的问题,今天能够写一篇 小文章,明天能够写一篇小文章,就可以升级,假如不写出来的话,生活上会受到 困挠。这都是对的,可是你真的要做一个好的题目,其实也不见得那么难。一些研 究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三、四年的工夫,做出这么出 色的工作?他们是从不懂到懂,然后还要再向前进。表示真的要做好的题目,并不 是像你想象要花很多很多的时间才能够做到,问题是你的决心是怎么样。昨夜西风 凋碧树,就是说你要望很远的话,要将前面小的树去掉,才能看的远。假如我们眼 界里面看的都是小题目,永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣滓,才能够做一 些好的题目,我想这是一个很重要的事请。