Author Topic: 每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)  (Read 50110 times)

万精油

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« on: 十月 11, 2004, 08:41:23 pm »
刚到外面去过了一个长周末,这周的题出晚了。

上周问题讨论:生日假日的问题由SUPERTRAMP解出。最佳人数是364人。其实,
365人所产生的工作量也是最大值,但再增加一个人并不增加工作量,所以还是
364人化算,少付一个人的工资。

最近好几次都有人提到数学竞赛问题,使我想起我以前为国风写的一篇关于我的数
学竞赛情节的文章。虽然这里以前的国风读者已读过这篇文章,但估计许多新人没
有读过。现在把它搬过来,顺便也有了这期的题目。


数 学 竞 赛 及 其 它 (1998-01-21)

    最 近 一 期 美 国 数 学 会 的 N o t i c e 上 有 一 条 小 新
闻 , 说 是 美 国 高 中 生 与 俄 国 高 中 生 在 去 年 的 国 际 数 学 奥
林 匹 克 竞 赛 中 得 了 个 并 列 第 四 。 并 列 第 四 当 然 不 错 , 但
没 拿 到 第 一 就 与 美 国 公 众 中 的 老 子 天 下 第 一 的 形 象 不 合
, 所 以 这 条 新 闻 也 没 在 大 报 中 出 现 。 三 年 前 美 国 高 中 生
一 不 小 心 得 了 个 第 一 名 , 便 上 了 华 盛 顿 邮 报 和 纽 约 时 报
的 头 版 。 去 年 的 第 一 名 当 然 是 中 国 , 不 知 有 没 有 上 人 民 日
 报 头 版 , 也 许 没 有 , 因 为 中 国 的 新 闻 界 大 约 已 经 习 惯 了
我 们 的 高 中 生 在 这 种 竞 赛 中 拿 一 、 二 名 。 连 我 们 这 些 看
新 闻 的 人 都 已 经 很 习 惯 了 , 没 拿 第 一 才 是 新 闻 。 好 多 年
没 关 心 它 了 , N o t i c e 上 的 这 篇 小 新 闻 又 勾 起 了 我
头 脑 中 沉 睡 已 久 的 数 学 竞 赛 情 ?。

    数 学 竞 赛 有 很 多 级 别 。 中 学 的 , 大 学 的 , 市 里 的 ,
省 里 的 , 甚 至 全 国 的 。 最 高 级 的 当 然 就 是 国 际 奥 林 匹 克
数 学 竞 赛 。 我 这 辈 子 最 大 的 遗 憾 之 一 就 是 没 有 能 参 加 过
任 何 一 个 级 别 的 数 学 竞 赛 , 连 小 学 数 学 竞 赛 都 没 有 参 加
过 。 文 化 大 革 命 以 前 倒 是 年 年 有 数 学 竞 赛 , 可 惜 那 时 候
我 年 龄 太 小 , 没 能 赶 上 。 文 化 大 革 命 以 后 又 恢 复 了 数 学
竞 赛 , 我 却 已 经 高 中 毕 业 , 没 有 资 格 参 加 了 。 读 大 学 时 倒
 也 赶 上 过 校 内 数 学 竞 赛 , 但 却 规 定 数 学 系 的 人 不 能 参 加
。 总 之 我 是 每 个 阶 段 都 错 半 步 。 别 人 说 生 不 逢 时 , 总 是
以 历 史 大 事 为 背 景 , 我 却 常 常 拿 数 学 竞 赛 当 坐 标 。

    正 规 的 竞 赛 没 有 参 加 过 , 但 题 目 却 没 有 少 做 。 文 化
大 革 命 时 就 把 文 革 前 的 题 目 找 来 做 。 文 革 后 更 是 每 期 都
不 放 过 。 每 次 别 人 刚 竞 赛 完 就 赶 紧 去 要 题 来 做 。 偶 尔 拿
到 最 新 的 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 题 , 那 就 一 定 是 不 做 出
来 不 睡 觉 的 。 这 么 大 的 热 情 , 似 乎 是 想 说 明 什 么 问 题 。
其 实 , 如 果 真 给 我 机 会 让 我 去 参 加 一 次 竞 赛 , 说 不 定 就
名 落 孙 山 , 被 一 棍 子 打 死 , 这 热 情 自 然 就 没 有 了 。 但 这 一
 棍 子 始 终 没 有 打 下 来 。 而 我 这 种 盼 打 心 理 到 读 研 究 生 时
还 很 旺 盛 。 直 到 有 一 次 在 科 学 院 数 学 所 与 人 打 桥 牌 , 同
桌 的 其 余 三 人 分 别 来 自 北 大 、 科 大 和 复 旦 。 当 时 刚 好 赶
上 数 学 竞 赛 结 束 , 大 家 自 然 就 聊 起 数 学 竞 赛 来 。 这 一 聊
才 发 现 他 们 三 人 都 有 全 国 数 学 竞 赛 前 三 名 的 头 衔 。 而 我
却 只 能 在 赛 后 做 题 目 过 干 瘾 , 连 孙 山 都 没 有 见 过 。 这 盼
望 多 年 的 棍 子 没 想 到 从 牌 桌 上 打 下 来 , 心 里 很 不 是 滋 味
。 搞 得 好 好 的 一 副 小 满 贯 也 被 我 打 宕 了 。 从 那 以 后 再 也 没
 有 做 过 数 学 竞 赛 题 。

    到 了 美 国 以 后 , 又 接 触 到 数 学 竞 赛 。 而 且 P u ?n a
 m 数 学 竞 赛 允 许 数 学 系 的 人 参 加 了 , 可 惜 只 限 于 本 科 生
 。 其 实 即 使 可 以 参 加 , 我 也 不 好 意 思 去 。 因 为 有 不 少 同
 系 的 教 授 给 P u t n a m 出 题 。 大 家 平 时 一 起 午 餐 时 常
 常 拿 那 些 参 赛 人 的 笑 话 下 饭 。 开 始 时 还 把 题 目 找 来 看 看
 , 后 来 连 题 目 也 不 看 了 。

    N o t i c e 的 文 章 中 还 顺 便 给 了 一 个 去 年 的 题 目
做 例 子 。 既 然 做 起 来 , 一 道 题 当 然 不 过 瘾 , 于 是 去 把 全
套 题 目 找 来 做 了 一 便 , 顺 便 看 了 一 些 相 关 资 料 。 搞 清 楚
了 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 的 规 程 。 每 年 的 竞 赛 有 六 个 题
目 , 每 题 七 分 。 分 两 天 进 行 。 每 天 三 道 题 , 要 求 在 四 个
半 小 时 做 完 。 这 些 资 料 很 详 细 , 其 中 有 个 表 格 把 所 有 参
赛 人 的 姓 名 , 国 籍 , 每 道 题 得 多 少 分 都 写 得 清 清 楚 楚 。 这
 一 看 才 知 道 , 这 次 竞 赛 一 共 有 六 个 人 得 了 满 分 ( 4 2 分
) , 中 国 人 没 有 一 个 得 满 分 的 , 但 都 在 三 十 七 分 左 右 ,
所 以 总 体 成 绩 第 一 。 每 个 国 家 六 人 , 中 国 队 总 分 是 2 2
3 。 这 份 表 中 最 让 我 吃 惊 的 是 竟 然 有 十 几 个 人 得 零 分 ,
有 三 十 多 人 得 一 分 。 要 知 道 , 每 次 的 题 目 都 有 一 两 道 题
是 送 分 题 。 这 些 各 个 国 家 选 出 来 的 尖 子 们 竟 然 连 送 分 题
也 不 会 做 , 有 不 少 还 是 来 自 教 育 很 发 达 的 国 家 , 简 直 有
点 让 人 不 可 思 议 。 我 们 本 期 的 题 目 就 是 去 年 竞 赛 的 一 道 送
 分 题 ( 至 少 A , B 部 分 算 送 分 ) , 程 度 应 该 在 大 家 的 能
 力 以 内 。 大 家 做 一 做 , 也 算 过 一 过 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞
 赛 的 干 瘾 。 题 目 说 明 部 分 比 较 长 , 但 都 是 初 中 数 学 的 内
 容 , 只 要 仔 细 读 就 可 以 理 解 。


【 本 期 题 目 】
    把 一 个 平 面 按 整 数 格 点 分 为 一 个 个 单 位 小 正 方 块 ,
并 把 它 们 染 成 黑 白 相 间 的 颜 色 ( 如 同 国 际 象 棋 盘 ) 。 现
在 考 虑 一 个 以 坐 标 原 点 为 顶 点 的 直 角 三 角 形 , 其 一 条 直
角 边 是 X 轴 , 长 度 为 M , 另 一 条 直 角 边 为 Y 轴 , 长 度 为
N 。 这 个 直 角 三 角 形 所 包 含 的 部 分 有 黑 有 白 。 用 S 1 表
示 黑 色 部 分 的 面 积 , 用 S 2 表 示 白 色 部 分 的 面 积 。 现 在
定 义 这 个 直 角 三 角 形 的 色 差 为

    F ( M , N ) = ┃ S 1 - S 2 ┃

其 中 ┃ ┃ 为 绝 对 值 符 号 。 下 面 的 M A X ( M , N ) 表 示
取 M , N 中 的 最 大 值 。

A . 请 计 算 当 M , N 同 为 偶 数 或 同 为 奇 数 时 F ( M , N
) 的 值 。

B . 请 证 明 对 任 意 M , N ,   F ( M , N ) < = M A X
( M , N ) / 2

C . 请 证 明 F ( M , N ) 没 有 上 界 。 也 就 是 说 不 存 在 一
个 常 数 C 使 得

    F ( M , N ) < C   对 任 意 M , N 都 成 立 。

sean

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #1 on: 十月 12, 2004, 08:14:02 pm »
好像没人愿意试这个题. 随便发些感想,  算抛砖引玉吧. -- 引个人来做出来.

 我觉得这个题目也不那么容易,  至少表面上是比较繁的. 第一问就不那么容易, 象我这样水平不太高的, 至少要坐下来画个图看看; 答案好象很简单, 而且似乎一个技巧是把三角形变矩形看;  第二问要尽量利用第一问的结论; 第三问是要找一系列的 (nk, mk) 使 f(nk, mk)  越来越大, 估计也要尽量用第一问的结论, 并且哪个序列要找得聪明, 以尽量减少计算量.   我不太愿意做繁杂的题目,  因为一开始就注定你要投入较多时间,  还不一定能做出来.  而形式简单的题目, 容易吸引人来做.  不过有些看似繁杂的题目,  可能灵机一动就变得非常简单.  这也是数学的迷人处之一吧.


数学竞赛现在也不太热了吧? 现在大陆的"神童"好像更应该是个编程高手, 最好是写个程序卖很多钱; 次一等的, 就要拿到很多世界名校的本科录取通知书.   当年可是很热哟.  连我, 在一个偏远的地方上中学, 都参加过除国际赛外的许多比赛,  可惜成绩差强人意.  回忆起来有一些遗憾, 不过其实也就那么回事.  我在大学以后见到的许多年轻的数学牛人,  都没有参加过中学数学竞赛,  或者没有取得优异成绩.  当然现在也有一些有名的数学家, 当年也参加过竞赛活动.  比如我听说,  一个70 年代末的上海数学竞赛第一名, 好多年以前就已经是超一流数学系的教授.  还有几个海外的华人少年, 他们没经过什么训练,  可是同样取得奥赛金牌,  现在也做出了很多成绩.

packman

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #2 on: 十月 13, 2004, 09:50:45 am »
A)
both even number: F(M, N) = 0,
both odd number: F(M, N) = 1/2
Here's the reason:
consider the rectangle of M x N, and draw a line to make 2 opposite triangles.  For both odd (or even) number of M and N, these two triangles are identical in color after rotation. For even numbers, black and white color area are the same, so F(M,N)=0. For odd numbers, difference in area (in rectangle) is always 1. The difference is shared by two triangle equally. So F(M,N) = 1/2.

It's more complicated when one odd and one even. I am working on it now.

Speaking of math contests, I attended a few about 20 years ago in Shanghai when I was a high schooler. Two best results I got was #11 in Shanghai high school math contest, and #21 in AHSME (American High School Math Exam). The latter one has 30 multiple choice questions, 5 points each for correct answer, 2 points for doing nothing, and 0 points for wrong answer. I did 27 question right (135 pts). With the extra time left, I was struggling whether I should gamble on the three questions I wasn't sure. (If I don't do these 3, I'll get 141. But if I gamble, I could get as high as 150, or as low as 135). I gambled. And unfortunately, my final score was 135.
The final #1 got 145 pts, #2 got 144 pts. #3 got 140pts (8 people). I am still regreting on that move.
After high school, I took a completely different career path that has nothing to do with math, even though that's my favorite subject, then and still now.
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packman

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #3 on: 十月 13, 2004, 10:34:31 am »
For question B:
when M,N are both odd or even number, F(M,N) <= max(M,N) / 2 is right, from question A.
when M, N is one odd and one even, we can draw a smaller right recangle inside, the even number side is the same, the odd number side is minus 1, so the inside triangle is even x even, and the color difference is 0. The extra part (also a triangle) has the width of 1, and the height of either M or N. It's area is no more than 0.5 x 1 x max(M,N). Proved!

Is part C also proved by the same token? I thought so. But I am not sure.
简单==完美

sean

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #4 on: 十月 13, 2004, 02:03:03 pm »
Great job!

I think for part C, you only need to guess a sequence. Then the computation technique should be similar to part B (i.e., consider the triangle with bottom 1 and height N) but needs more caareful caculation to compute the difference between black and white.


I also attended AHSME. I forget my score but I remember I got one problem wrong carelessly. Anyway, it is not worth remembering because there should be friends in the same exam room who got 150. But I still remember the day: the weather was nice, and the girls in uniform in the No. 8 High School in Beijing, where I attended the exam, were beautiful.    :wink: The most unforgotten was in the national high school math contest, for a problem with two parts, I wrote nothing for part A and solved part B using a method not expected by the reviewers. I was first got zero points for the problem, but the national committee credited me 20 points back for my part B, which made a big difference.

supertramp

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #5 on: 十月 14, 2004, 06:45:39 am »
The first two parts are very easy and it shouldn't take a couple of minutes to solve.

The last part is a bit harder.  My solution is following:

Consider the case M = N = n. The diagonal side will go across blocks with the same color, and let's assume it is black.

Now consider the case M = n, and N = n-1.  So we cut off part of the original triangle.   The part we cut off is mostly black, but it will also contains some white areas.  It is easy to show that we will have (n-1) white triangles in the cut-off area.  Their sides are
[ 1/n,  1/(n-1) ]
[ 2/n,  2/(n-1) ]
[ 3/n,  3/(n-1) ]
....
[ (n-1)/n, 1 ]

So it's easy to show the total area of white triangles in the cut-off are is
[ 1*1 + 2 * 2  + ... + (n-1) * (n-1) ] / n / (n-1) / 2
= n/6 - 1 / 12

The total area of cut-off triangle is n/2.

The total area of black area inside the cut-off triangle is
n/2 - [ n/6 - 1/12 ] = n/3 + 1/12

Thus for the cut-off triangle
S1 - S2 = ( n/3 + 1/12 ) - ( n/6 - 1/12 ) = n/6 + 1/6

If n = even, the original triangle has F(n, n ) = 0.   The the remaing triangle has

F( n, n-1 ) = n/6 + 1/6 ( when n = even )

Clearly no upper-bound.

Dr Kevin Wang

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提提当年勇
« Reply #6 on: 十月 14, 2004, 07:58:23 pm »
虽说是好汉不提当年勇,但是看到这么多人谈数学竞赛,心里就有些痒:) 再说一直有心联络中国的各届奥赛选手,所以就说两句。

我是1985年去芬兰参加数学奥林匹克竞赛的,那是中国第一次去,有“投石问路” 的意思。惭愧得很,六道题只做出一道半,没拿到牌,而且在一道熟题上失手,事后懊悔不已。同去的只有另外一位选手吴思皓,他得了铜牌。我比吴高一年级,所以说起来我算是中国所有奥赛选手中的老大哥。我中学时的班主任周沛耕后来负责奥校,很有成就。可惜我除了在94年跟他通过一次电话外,没有和他保持联系;回国几次也没能见到他。

那一年我也参加了AHSME,还得了个奖章。当时也是带了遗憾的,因为是憋着拿满分的,但是初试和复试分别错了一题。初试就是各位说的,30个题目,总分150。那复试好像是叫做“美国数学邀请赛”( 那时参加的竞赛太多,名目统统记不住) ,总共十五个题目,每题一分,满分是15分。每个题目的答案都是整数,要填到答题纸上。记得周老师在赛后很遗憾地告诉我,我要是得满分就好了,上海至少有两个满分,而北京一个都没有,不好意思大肆报道:)北京的复试名次也有趣,错几题就是第几名。

我早已脱离数学界,目前做企业级软件。一直希望能把所有中国参加过各种学科奥林匹克竞赛的同学联络起来,了解一下各自的发展情况和奋斗经历,应该会蛮有意思的吧。

关于这个题目,我有个疑问。题目本身并没有限定M和N必须是整数啊。虽然A中提到奇数和偶数,但其他地方说任意M、N,并没有说明任意整数M、N。

idiot94

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #7 on: 十月 14, 2004, 08:11:46 pm »
wow ... a true hero here :)

Big Brother, do you still have contact with SiHao? He is at Greenwich Capital, CT, with Feng Zuwei (a much younger genius) right now.

And I have at least 7 other national team members' contacts at hand. But they are much younger than you :p ... (mainly after 89) Also, I know Teng Jun (the girl hero :D) of 87 (or 86?) is working for Bear Stearn right now, though I do not have her contact at hand, I can surely ask for it.

If you are really into get together with these little big brothers and sisters, please let me know, I might lend a hand or something :D
In general, the men of lower intelligence won out. Afraid of of their own shortcomings ... they boldly moved into action. Their enemies, ...  thought there was no need to take by action what they could win by their brains. Thucydides, History

packman

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Re: 提提当年勇
« Reply #8 on: 十月 14, 2004, 08:55:33 pm »
Speaking of 吴思皓, he and I were in the same district in Shanghai, but different schools. We were in the same grade, and he's the one to beat.
(I think I only beat him once (the one I got No.11)  :wink: ).

In 1985's national math contest, he was not among the top finalists in Shanghai branch. Yet he was still selected to Beijing (or maybe Tianjing, with other top finalists) to attend the "winter concentration camp" since he won the bronze in 1985. I forgot whether he went to Poland in 1986 or not.  That year, China took a big victory. SiYue, you are really a pioneer!

The 2nd round is called AIME (美国数学邀请赛). Only a select few who did well in AHSME could attend. I only got 12 out of 15 and didn't win the prize.

Quote from: SiYue
虽说是好汉不提当年勇,但是看到这么多人谈数学竞赛,心里就有些痒:) 再说一直有心联络中国的各届奥赛选手,所以就说两句。

我是1985年去芬兰参加数学奥林匹克竞赛的,...... 同去的只有另外一位选手吴思皓,......
那一年我也参加了AHSME,...... 那复试好像是叫做“美国数学邀请赛”( 那时参加的竞赛太多,名目统统记不住) ......。
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sean

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #9 on: 十月 14, 2004, 09:11:57 pm »
原来AHSME还有奖章呀?  我参加的那次怎么没有?  因为一块去的有一个是后来奥赛满分拿金牌的,  他肯定在 AHSME中也能得高分 (不过AHSME 总体上太简单了).  可是怎么连复赛都没听说? 有可能我们那次是非正式的吧.

我认为早期没经过多少训练就拿牌的绝对是天才,  后来的其中一些选手就比不上了. 奥赛选手我认识好几个, 不过他们都比SIYUE年轻好多.  他们总体表现当然比其他人好得多.  我大学同学有两个奥赛选手, 都是好朋友.  其中一个早期走过一段弯路,  后来却一帆风顺.  另一个现在的境况很不好, 他其实天分很高的 (一学期课不上, 看三天书就能通过考试). 不过都还年轻,  从新开始念研究生都还来得及.  还有一个当时上研究生的师兄,    也是奥赛拿过牌的,  他不知道为什么刚开始就没想出国,  后来想了, 很费了些劲才出来.   不过这些人就是不一样, 出来了很快就表现出来了.  很多人已经有了很大的成就, 不过那些还在数学圈的, 能不能出个大家, 可能还要等几年才能看清.

万精油

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« Reply #10 on: 十月 15, 2004, 09:50:23 am »
Everybody seems to have a glorious history on Mathematics competition, this makes me really jealous.  :)  Especially SiYue, pioneer of Chinese IMO, something really worth to be proud of.  I've known you for about 10 years now, first time hear about this. Wow!

If you guys get in touch with other IMO people, please invite them to this forum. I strongly believe that no matter what they are doing now, they would still love mathematics.

Dr Kevin Wang

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每周一题: 数学竞赛问题 (10/11/04 -- 10/17/04)
« Reply #11 on: 十月 15, 2004, 08:56:02 pm »
I94, 你若有他们的联系方式,请送给我,用这个EMAIL地址:
Fengwang3001@yahoo.com

滕峻的也问一下吧,多谢!

AHSME的奖章是北京、上海各一枚(有并列第一的会多给) 。1984年北京是阮卫东和秦洪勋得了满分,拿到了奖章。阮卫东是数学和电脑天才,跟我同级,在84年被北大数学提前一年招去了。要不然等85年争夺IMO的名额,我要胜过他可没那么容易。他们都上了北大数学系,秦毕业后继续在北京读研,我后来也和他没有联系。阮去了哈佛。

1986年吴思皓在北京参加冬令营时我去看过他;那一年他没能选上。那次的荆秦在各国参赛的女选手中得分最高,得了银牌。她和同年的选手李平立还有另一位(名字记不起了,“方维民” ?) 都上了北大数学系。荆秦毕业后去了哈佛,听说和阮卫东是一对。我92年去波士顿碰见她一次,再后来就失去联系了。
1987年,我所知道的是滕峻、高侠,他们都是北大附中(我的母校) 出来的。高侠拿了铜牌,而滕峻得了满分拿了金牌。滕峻在北大本科还没毕业就转到美国了,去了CALTECH(或是斯坦福?) 。我一直没能和她联络上。

再往后的就顶多是知其名未见其面了。在网上结交的有张朝晖,1990年北京IMO金牌得主,网号阿飞,1994和1995年间中文网红火的时候我们在ACT和IRC有过来往,后来他在新语丝社任秘书长。现在不知怎样了。与吴思皓在IRC上也聊过;他还带着女友杨冰(数学家杨乐的女儿) 到我当时所在的宾州去玩,会过一面。

值得一提的是,我的大学同学冯祖鸣是美国IMO的领队,做得相当出色,1995年(?) 他带队去香港IMO,六名美国选手全部得了满分,不但是空前的,我看也是绝后的。

其实这些人虽说数学天分很高,在俗世中都不容易,读学位,求生存,养家糊口,运气好的能在学术界发展成为大家,或到华尔街挣大钱,一般的也就平平常常过日子。运气不好的也会走好多弯路。要说我这辈子最值得骄傲的是什么?是这个:
http://members.cox.net/adelle/

万教授,你的《墨绿》写得很棒啊。是不是万嫂的贷款生意这几年发了,现在就有时间办这个论坛了?:)

idiot94

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« Reply #12 on: 十月 18, 2004, 08:27:39 am »
SiYue Da Ge, sure, I will sort them out and send email to you as soon as I can. I will try to get Teng Jun's numbers as well ---- she went to Caltech when she came here. One of my classmates went to Caltech a couple of years later met her there (also a girl), and she probably taught her something strange and tough :D ... after all, several years later, my classmate quited her Ph.D. program in Harvard and started to practice FLG :D ... (I really do not think it was because of TJ though :D , my classmate herself had some pretty tough personal misfortune in those years.)

Anyways...
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万精油

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« Reply #13 on: 十月 18, 2004, 08:59:19 am »
Quote
值得一提的是,我的大学同学冯祖鸣是美国IMO的领队,做得相当出色,1995年(?) 他带队去香港IMO,六名美国选手全部得了满分,不但是空前的,我看也是绝后的。


That was indeed the proudest year for the US team. I still remember the news even made Washington Post.

Quote
其实这些人虽说数学天分很高,在俗世中都不容易,读学位,求生存,养家糊口,运气好的能在学术界发展成为大家,或到华尔街挣大钱,一般的也就平平常常过日子。运气不好的也会走好多弯路。


This happens quite often. Many of my smart classmates didn't do very well in real life. I guess their EQ is not as high as their IQ. :(

Quote
要说我这辈子最值得骄傲的是什么?是这个:
http://members.cox.net/adelle/


Congratulations. Yes, kids are cute and can produce a lot of fun and proud. Just so that you are prepared, they can also produce a lot of trouble. :) My daughter is gradually getting to trouble age :(. The good thing is, they usaually will grow out of it soon. My son has grown out of it and can actually communicate with me very well now.

Quote
万教授,你的《墨绿》写得很棒啊。


Thanks for the good words. I am glad you like it. I did put a lot of effort in it.

Quote
是不是万嫂的贷款生意这几年发了,现在就有时间办这个论坛了?:)


I wish this was true.

testpost

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« Reply #14 on: 十月 25, 2004, 08:07:33 am »
i94,

if you know tj's contact, would you please let me know?

i am her classmate.

seems you guys know lots of people of 86's pre-test trainning. names sounds familiar. :-)
testposttestposttestpost