Author Topic: 数学与选举  (Read 8288 times)

万精油

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数学与选举
« on: 四月 17, 2008, 02:32:19 pm »
数学与选举

--万精油--

今年是选举年,各种报刊杂志都在谈关于选举的事,连数学家也不例外。年初开数学年
会时听过一个关于选举中的数学问题的报告,最新一期数学会刊又有一篇相关文章。比
较有意思,而且其中一些例子很容易对大众讲清楚,我这里就来试一试。

主要结论是:在竞选者实力接近的时候(各方支持者数量差不多),选举结果只是对选
举规则的反映,而不一定是对选民意见的反映。

什么叫对选举规则的反映?这结论听起来怎么有点违背常理。要说清楚这个问题,我们
先来看一个例子。

假设有三个候选人A,B,C。11个人来投票,每个投票人列出他们对这三个人的支
持程度,也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序。结果如下:

3人:A>B>C
2人:A>C>B
2人:B>C>A
4人:C>B>A

如果选举规则是每人只选一个人,根据上面列出的表我们可以看出A会赢。只选一个人
的结果是A>C>B(得票依次是5,4,2)。如果选举规则是每人可以选两人,然
后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选),我们可以看到其结果是B>C
>A(得票依次是9,8,5)。这个例子说明,同样的选民,同样的意向,因为选举
规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意
向采用BORDA加权(起始于1770年)。对每个意向表,第一名得两分,第二名
得一分。最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个
BORDA加权,我们得出另一个不同的结果C>B>A(依次得分是12,11,
10)。如果用另外的加权方法,我们还可以得出别的不同结果。

同样的意向表,不同的加权,到底会产生多少个不同的结果?有定理说:

对N个候选人,存在一个意向表使得不同的加权会产生 (N-1)*(N-1)!个不同的结果。

显然,对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外还要求最后一名的权是0。
在这种条件下,如果有10个候选人(比如美国的总统初选),同样的意向表可以产生
超过三百万种不同的结果。

有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况,实际选举出现这种特例的机
会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定里说:

如果有三个候选人,他们的支持度差不多(同等的随机分布),则有大于三分之二的可
能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。

三分之二可不是一个小数,比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候,选举规则
会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。

以今年为例,如果把全体美国人的意向列一个意向表,我们几乎可以肯定不同的规则会
产生不同的结果。也就是说对这个意向表不同的加权可以产生CLINTON赢,或者
OBAMA赢,或者McCAIN赢。

这种现象并不只在选总统的时候出现,在日常生活中也会冒出来,甚至影响到你自己。
比如你去面试一个工作,总共四个面试者,A,B,C,D。四个人每个人做一个报告。
听报告的一共30个人。听完报告后这30个给出每人的意向表,结果如下:

3人:A>C>D>B
6人:A>D>C>B
3人:B>C>D>A
5人:B>D>C>A
2人:C>B>D>A
5人:C>D>B>A
2人:D>B>C>A
4人:D>C>B>A

假设你是D,根据这个意向表,你就没有戏了。因为只有一个位置,所以只有一个人能
得到。按第一票算,其次序是A>B>C>D(得票依次是9,8,7,6)。显然A
胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候,C打电话来说他弃权,因为他已经接
受了另一个工作。初看起来,C排第三,他的弃权对只选一个人的结果不会有影响。其
实不然,如果你把上面的意向表中的C都去掉,你会发现结果完全不同了。因为C的7
票有2票给了B,5票给了你(D)。最后的结果是D>B>A(得票依次是11,
10,9)。

如此的例子还有很多,单就上面的这个例子看,任何一个人弃权都会改变结果的次序。
对这样的混乱现向有人用混沌来形容。

最后再回到开始的那句话:在竞选人实力差不多的情况下,选举结果是对选举规则的反
映,而不一定是对选民意向的反映。
« Last Edit: 四月 25, 2008, 01:01:38 pm by 万精油 »